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Ein `!Tensorfeld`! (unpräzise auch `!Tensor`! genannt) wird im mathematischen Teilgebiet der `F33f`_`[Differentialgeometrie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialgeometrie]`_`f im Besonderen in der `F33f`_`[Tensoranalysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensoranalysis]`_`f untersucht. Es handelt sich um eine `F33f`_`[Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f, die auf spezielle Weise jedem Punkt eines zugrundeliegenden Raumes einen `F33f`_`[Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensor]`_`f zuordnet.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Quelle`#quelle]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

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>>Definition

Sei M {\\displaystyle M} eine `F33f`_`[glatte Mannigfaltigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Glatte_Mannigfaltigkeit]`_`f und T s r ( M ) {\\displaystyle T_{s}^{r}(M)} ein (r,s)-`F33f`_`[Tensorbündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensorbündel]`_`f. Ein (r,s)-Tensorfeld ist ein glatter `F33f`_`[Schnitt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schnitt_(Faserbündel)]`_`f im Tensorbündel T s r ( M ) {\\displaystyle T_{s}^{r}(M)} . Die Menge der Tensorfelder wird mit Γ Γ ∞ ∞ ( T s r ( M ) ) {\\displaystyle \\Gamma ^{\\infty }(T_{s}^{r}(M))} bezeichnet. Diese Menge ist ein `F33f`_`[Modul`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modul_(Mathematik)]`_`f über der Algebra C ∞ ∞ ( M ) = Γ Γ ∞ ∞ ( T 0 0 ( M ) ) {\\displaystyle C^{\\infty }(M)=\\Gamma ^{\\infty }(T_{0}^{0}(M))} der `F33f`_`[glatten Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Glatte_Funktion]`_`f.

>>Beispiele

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet.

• `F33f`_`[Riemannsche Metriken`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemannsche_Mannigfaltigkeit]`_`f sind (0,2)-Tensorfelder.

• Der `F33f`_`[riemannsche Krümmungstensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemannscher_Krümmungstensor]`_`f ist ein (1,3)-Tensorfeld, das mithilfe der riemannschen Metrik als ein (0,4)-Tensorfeld aufgefasst werden kann.

• `F33f`_`[Differentialformen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialform]`_`f vom Grad k, insbesondere das `F33f`_`[totale Differential`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Totales_Differential]`_`f einer Funktion im Fall k=1, sind Schnitte von ⋀ ⋀ k T ∗ ∗ M ⊆ ⊆ ( T ∗ ∗ M ) ⊗ ⊗ k . {\\displaystyle \\textstyle \\bigwedge ^{k}\\mathrm {T} ^{*}M\\subseteq (\\mathrm {T} ^{*}M)^{\\otimes k}.} Hierbei bezeichnet T ∗ ∗ M {\\displaystyle T^{*}M} das `F33f`_`[Kotangentialbündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kotangentialbündel]`_`f. Für weitere Informationen siehe auch unter `F33f`_`[Äußere Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Äußere_Algebra]`_`f nach.

• Der `F33f`_`[Energie-Impuls-Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energie-Impuls-Tensor]`_`f T α α β β {\\displaystyle T^{\\alpha \\beta }} und der `F33f`_`[elektromagnetische Feldstärketensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektromagnetischer_Feldstärketensor]`_`f F α α β β {\\displaystyle F^{\\alpha \\beta }} (als Beispiel eines `F33f`_`[Feldstärketensors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Feldstärketensor]`_`f) in der Relativitätstheorie sind Tensorfelder zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis des `F33f`_`[Minkowski-Raums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minkowski-Raum]`_`f.

• die `F33f`_`[Spin-Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin-Gruppe]`_`f, deren `F33f`_`[Darstellungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Darstellung_(Lie-Gruppe)]`_`f die oft verwendeten `F33f`_`[Spinorfelder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spinor]`_`f sind, wird üblicherweise als Teilmenge der Tensorfelder mit Werten in der `F33f`_`[Clifford-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Clifford-Algebra]`_`f konstruiert.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Rekurrenter Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rekurrenter_Tensor]`_`f

>>Quelle

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: `*Manifolds, Tensor Analysis, and Applications`* (= `*Applied Mathematical Sciences`* 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

>>Weblinks

Commons

: Tensor fields

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hendrik van Hees: Physik-FAQ für die deutschsprachigen Physik-Newsgroups https://web.archive.org/web/20160304062557/http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/geo/node10.html

alternativ: uni-frankfurt.de/~hees

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